다변수함수의 정의와 개념에 대해 알아보고 일변수함수에서 적용되던 여러가지 성질을 다변수함수로 확장시켜 보자.
우리가 수학을 하며 흔히 접하는 \(y = f(x)\)꼴의 하나의 변수에 의존하는 함수를 일변수함수라 부른다.
마찬가지로 두 개의 변수에 의존하는 함수를 이변수함수, n개의 변수에 의존하는 함수는 n변수함수라 한다.
n변수함수
n-공간의 부분집합 U에서 정의된 함수 \(f:U\to R\) 에서 U의 각 점이 R에 대응될 때 함수 f를 n변수함수, n이 2 이상일 때 다변수함수라 한다.
▶ 일차함수의 기울기
일변수함수 \(y = ax + b\)에서 기울기가 a임은 자명한 사실이다. 엄밀히 이는 다음과 같은 식을 통해 계산된다.
\[ {\Delta y \over \Delta x} = {(a(x + \Delta x) + b) - (ax + b) \over \Delta x} = a\]
다변수함수에서도 이를 확장하여 기울기를 정의할 수 있다.
먼저 우리에게 익숙한 이변수함수를 살펴보자.
이변수함수 \(z(x, y) = ax + by + c\)에서의 기울기를 생각해보자.
xy-평면에서 x축과 나란한 직선 위에서의 함수의 기울기는 다음과 같이 계산할 수 있다.
\[ {z(x + \Delta x, y) - z(x, y) \over \Delta x} = {(a(x + \Delta x) + by + c) - (ax + by + c) \over \Delta x} = a\]
마찬가지로 y축과 나란한 직선 위에서의 함수의 기울기는 다음과 같다.
\[ {z(x, y + \Delta y) - z(x, y) \over \Delta y} = {(ax + b(y + \Delta y) + c) - (ax + by + c) \over \Delta y} = b\]
이변수함수의 기울기는 x축과 나란한 방향의 기울기와 y축과 나란한 방향의 기울기로 이루어졌음을 알 수 있다.
이때, 두 기울기로 이루어진 벡터 \((a,b)\)를 일차함수 \(z(x, y)\)의 기울기 벡터라고 부른다.
n변수함수의 경우에는 n개의 원소로 이루어진 기울기 벡터를 가진다.
n변수 일차함수는 \(a = (a_1, a_2, ..., a_n), X = (x_1, x_2, ..., x_n)\)와 실수 c에 대해 \(z(X) = a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + c = a{\cdot}X + c\)로 표현할 수 있다.
이떼, 첫번째 축 방향의 기울기는 다음과 같다.
\[ {z(X + te_1) - z(X) \over t} = {(a{\cdot}(X + te_1) + c) - (a{\cdot}X + c) \over t} = a{\cdot}e_1 = a_1\]
같은 방법으로 n번째 축 방향의 기울기까지 계산하면 a가 함수 z의 기울기 벡터임을 알 수 있다.
단위벡터 방향의 기울기
단위벡터 \(v = (v_1, v_2, ..., v_n)\)에 대해 일차함수 \(z = a{\cdot}X + c\)의 \(v\)방향 기울기는 다음과 같다.
\[a{\cdot}v = a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_nv_n\]
pf)\[ {z(X + tv) - z(X) \over t} = {(a{\cdot}(X + tv) + c) - (a{\cdot}X + c) \over t} = a{\cdot}v\]
▶ 다변수함수의 역상
n-공간의 한 부분집합 U에서 정의된 다변수함수 \(f:U\to R\)와 실수 c에 대해 c-등위면(level surface), c-등가면을 다음과 같이 f에 대한 c의 역상(inverse image)으로 정의한다.
\[ f^{-1}(c) := \{X {\in} U | f(X) = c \}\]
▶ 다변수함수의 연속
일변수함수 \(y = f(x)\)에서 한 점 \(x=a\)에서의 연속을 \(\lim_{x \to a}f(x) = f(a)\)의 극한을 이용해 정의했다.
다변수함수의 경우에도 이와 마찬가지로 n-공간의 부분집합 U에서 정의된 함수 \(f:U\to R\)와 \(U\)의 한 점 P에 대해 다음식을 만족하는 것으로 점 P에서의 연속을 정의한다. \[\lim_{X \to P}f(X) = f(P)\]
연속함수의 정의 또한 일변수함수와 마찬가지로 정의역의 모든 점에서 연속일 때 연속함수라 한다.
문제 풀이
실제로 다변수함수가 어떠한 점에서 연속인 것을 증명하는 문제를 풀 때에는 여러 변수의 극한을 동시에 다루어야 한다는 문제가 생긴다. 그 예시로 \(\lim_{(x, y)\to(0, 0)}{y\over x}\)와 같은 극한의 경우 두 변수가 같은 정도로 0으로 수렴하는 것이 아니기 때문에 극한값을 계산할 수 없다.
이러한 문제를 해결하는 핵심은 다변수함수가 어떠한 점에서 불연속인 것을 보이는 경우에는 변수들 사이의 관계를 설정해 하나의 변수로 식을 바꿔 동일하지 않은 두 개 이상의 극한값을 구하여 증명할 수 있고 어떠한 점에서 연속인 것을 보이는 경우에는 극한값을 알 수 있는 식과의 대소관계와 조임 정리(a.k.a.샌드위치 정리)를 통해 극한값을 구하여 증명할 수 있다.
ex 1: 불연속임을 증명하는 경우)
ex 2: 연속임을 증명하는 경우)
▶ 최대 최소 정리
최대 최소 정리는 일변수함수 중 연속인 함수에서 성립하는 중요한 정리이다. 이러한 정리는 다변수함수에도 적용할 수 있는데, 다음과 같이 정의된다.
최대 최소 정리
n-공간의 유계인 닫힌 집합에서 정의된 연속 함수는 최댓값과 최솟값을 가진다.
다음 정리를 이해하기 위해서 유계, 닫힌 집합 등의 개념에 대해 살펴보자.
n-공간의 한 점 P를 중심으로 하고 반지름이 r인 열린 공(open ball)을 \(B^n(P, r) := \{X \in R^n\,|\,|X-P| <r\}\)의 집합으로 정의한다.
n-공간의 한 점 P를 중심으로 하고 반지름이 r인 닫힌 공(closed ball)을 \(B^n(P, r) := \{X \in R^n\,|\,|X-P| \leq r\}\)의 집합으로 정의한다.
n-공간의 부분집합 U에 대해 n-공간의 점 P를 관계를 U의 내점(interior point), 외점(exterior point), 경계점(frontier point, boundary point) 세 가지로 분류할 수 있다.
P를 중심으로 하는 어떤 공이 U에 포함되면 P를 내점, P를 중심으로 하는 어떤 공이 U와 만나지 않으면 P를 외점, P를 중심으로 하는 어떠한 공도 U와 U의 여집합과 동시에 만나면 P를 경계점이라 한다.
U의 내점 전체의 집합을 내부(interior), 외점 전체의 집합을 외부(exterior), 경계점 전체의 집합을 경계(frontier, boundary)라 한다.
U가 유계인 것은 U를 포함하는 공이 존재함을 의미한다.
닫힌 집합은 경계를 포함하는 부분집합을 의미한다.
열린 집합은 경계를 포함하지 않는 부분집합을 의미한다.
n-공간의 부분집합 U가 열린 집합일 때, U애 포함되는 점이 있으면 그 점 뿐 아니라 그 점의 조그만 근방이 모두 U에 포함된다는 성질이 있다.
▶ 다변수함수의 미분가능성
일변수함수에서는 다음과 같은 식을 통해 오직 \(x\)방향의 변화율만을 구해왔다.
\[\lim_{t\to 0}{{f(a+tx)-f(a)}\over t}\]
다변수함수는 변수가 변화할 수 있는 방향이 하나인 것과는 다르게 무수히 많은 방향을 가지기 때문에 함수에서 변화율을 조사하기 위해서는 변수가 변화하는 방향부터 설정해야 한다.
v-방향미분계수
n-공간의 열린 집합 U에서 정의된 함수 \(f:U\to R\)과 U의 한점 P, 벡터 v에 대해 다음 식의 값이 존재할 때, 이를 점 P에서 f의 v-방향미분계수라 정의한다.
\[D_vf(P):=\lim_{t\to 0}{{f(P+tv)-f(P)}\over t} = {d\over dt}\mid_0f(P+tv)\]
n-공간에는 특별한 n개의 방향이 존재한다. n개의 축 방향의 벡터 \(e_1 = (1, 0, \ldots, 0), \ldots, e_n = (0, 0, \ldots, 1)\)에 대해서 \(e_k\)-방향미분계수를 점P에서 f의 k번째 편미분계수라고 하고 이를 기호로 \({\partial f \over \partial x_k}, D_kf\)와 같이 나타낸다.
함수 f 가 정의역 U 의 모든 점에 대하여 k 번째 편미분계수를 가지면 함수 \(D_kf:U\to R\)를 f의 k번째 편도함수라 한다.
n 변수함수 f 의 모든 편미분계수가 점 P 에서 존재할 때, f 는 점 P 에서 편미분 가능하다고 말한다.
/(grad f(P):=(D_1f(P),\ldots ,D_nf(P))\) 를 P 에서 f 의 그레이디언트 벡터(gradient vector) 또는 기울기 벡터라고 한다.
f 가 점 P 에서 미분가능하다”는 개념은 점 P 에서 모든 벡터 v 에 대한 방향미분계수 Dvf(P) 가 존재하는 것과는 다른 개념이다. f 가 점 P 에서 미분가능하다는 뜻은 함수 \(y = f(x_1, . . . , x_n)\) 의 그래프가 점 \((P, f(P)) ∈ R_n × R = R_{n+1}\) 에서 기울기가 무한대가 아닌 접평면을 가진다는 뜻이다.
이때, 평면은 초평면을 의미하는데 \((P, f(P))\) 를 지나는 초평면의 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.
\[y = f(P) + a\cdot(X − P)\]
이제 이 평면이 점 (P, f(P)) 에서 y = f(X) 에 접한다는 것은 다음을 만족한다는 것이다.
\[\lim_{X\to P}{f(X)-f(P)-a\cdot(X-P)\over |X-P|}=0\]
▶ 다변수함수의 연쇄법칙